1 . 初步探究
（1）如图1，在四边形中，相交于点O， ，且，则与的数量关系为           ．
迁移探究
（2）如图2，在四边形中，相交于点O，，（1）中与的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由．
拓展探究
（3）如图3，在四边形中， 相交于点O，，且 ，求的长．

4 . 已知，如图①，四边形是矩形，对角线相交于点O，．

(1)【问题解决】
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)【问题探究】
如图②，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究的大小，并写出证明过程；
(3)【拓展延伸】
如图③，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作，使，，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．

5 . 【认识定义】已知点、、分别在的边、、上（点不与点重合，点不与点重合，点不与点重合），点为内一点，若，则称点为的等角点．
【初步探究】
（1）如图1，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，点是等边的等角点，则的度数为                ；
（2）如图2，在中，，，点是内一点，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，若，且，试说明：点是的等角点；
【拓展研究】
（3）如图3，等边的边长为，点是的等角点，且的正切值为，求的长（结果用含和的式子表示）；
（4）如图4，在中，，，点是的等角点，且，当的长最短时，连接，求的面积．

7 . 【问题情境】
如图，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是              ，的值是           ；
（2）如图，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．

8 . 【问题呈现】
（1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形的对角线交点处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：．
【问题探究】
（2）若将（1）中的正方形更换为矩形，且，如图2，判断与的等量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【问题再探究】
（3）将图2中的的顶点沿方向平移至点，若，如图3，请直接写出与的等量关系（用含，的式子表示，不需证明）．
【拓展运用】
（4）如图4，若，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．