1 . 在中，，D、E分别时、边上的点，．将绕点A旋转．
（一）发现问题
（1）如图①，、、满足的数量关系为________；
（二）探究问题
（2）如图②，，相交于点M，连接，求证：平分；
（三）拓展应用
（3）如图③，在四边形中，，，，求的度数．
   

2 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
   
(1)操作判断
操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点．
根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________；
(2)迁移探究
小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：
将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由；
(3)拓展应用
如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）．

3 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
      
【观察与猜想】
(1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；
(2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：；
【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________．

6 . 人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
【操作】在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为．

【发现】
(1)如图1，若点M，，E在同一条直线上，求证：为等腰三角形；
【探究】
(2)若点落在矩形对角线上，求的长；
【拓展】
(3)如图2，过点作，当面积最大时，请直接写出的长．

7 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值．

8 . 如图1，在矩形中，，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得，交直线于点H．
   
(1)【尝试初探】求证：．
(2)【深入探究】若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当点H是线段中点时，求的长度．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度（用含n的代数式表示）．

9 . 问题提出：
（1）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型”化．例如在三角形全等与三角形的相似的学习过程中，“K”字形是非常重要的基本图形．如图1，已知：，D、C、E三点共线，，由易证；
如图2，已知：，D，C，E三点共线，若、、，则的长为______；

问题探究：（2）①如图3，已知：，，、C、E三点共线，求证：；
②如图4，已知点，点B在直线上，若，则此时点B的坐标为______；

问题拓展：
（3）如图5，正方形中，点G是边上一点，，，垂足分别为F、E．若，四边形的面积等于10，求正方形的面积．
（4）如图6，正方形中，点E、F分别在、边上，，连接、DF，则的最小值是______．