5 . 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：

(1)操作判断
如图1，在正方形中，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为      ；
如图2，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，若，则的长为      ；
(2)迁移探究
如图3，在中，，，点D，E分别在边，上，且，试证明:；
(3)拓展应用
如图4，在矩形中，，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F为的三等分点时，请直接写出的长．

7 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

9 . （1）【问题发现】
如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连接，则          ．

（2）【问题解决】
如图2，在中，，D为外一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，若，，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示的长．

10 . 问题情境】已知等腰三角形中，点D在底边上．将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于180°），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．

【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为______．
（2）如图3，探究与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，当，且B，E，F三点共线时，若，，则的长为______．