3 . 问题情境】已知等腰三角形中，点D在底边上．将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于180°），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．

【尝试探究】
（1）如图1，当时，易知；
如图2，当时，则与的数量关系为______．
（2）如图3，探究与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，当，且B，E，F三点共线时，若，，则的长为______．

6 . 在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接．

(1)【观察发现】如图1，当，且时，与的数量关系是        ，与的位置关系是        ．
(2)【猜想证明】如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
(3)【拓展探究】在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．

7 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时，     ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则     ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．

8 . 问题发现：
（1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________．
拓展探究：
（2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图3，已知菱形和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由．

9 . 【操作与发现】
如图①，在正方形中，点N，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，从而可得：．

(1)【实践探究】在图①条件下，若，，则正方形的边长是___________．
(2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边、上，，若，求证：M是的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形，，，点M、N分别在边、上，连接、，，则的长是 ___________．

10 . 给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．
证明：
(1)如图，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；
探究：
(2)如图，在对余四边形中，＝，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
(3)已知，在中，，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．