1 . 已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于A，
两点，一次函数的图象交y轴于点B．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线
交反比例函数图象一象限分支于点F，连接
，作射线
轴．求证：射线
平分
；
(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接
、
、
，若点B是
的“蓉心”，求点D的坐标．
的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线
交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数
一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．
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2 . 定义：若x，y满足
，
且
（t为常数），则称点
为“和谐点”．
(1)请直接判断点
是否为“和谐点”；
(2)
是“和谐点”，求m值；
(3)若双曲线
的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
，且（t为常数），则称点为“和谐点”．(1)请直接判断点
是否为“和谐点”；(2)
是“和谐点”，求m值；(3)若双曲线
的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
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2024-02-08更新
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105次组卷
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2卷引用：湖南省永州市零陵区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
3 . 坐标平面内，若点
满足
，我们把点P称作“半分点”，例如点
与
都是“半分点”．
(1)一次函数
的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线
上存在“半分点”
，且经过另一点
，求m的值；
(3)若关于x的二次函数
（常数
）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当
时，求n的取值范围；
②当
时，过双曲线
（其中
）上的“半分点”P作直线
轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
满足，我们把点P称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．(1)一次函数
的图象上的“半分点”是______；(2)若双曲线
上存在“半分点”，且经过另一点，求m的值；(3)若关于x的二次函数
（常数）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．①当
时，求n的取值范围；②当
时，过双曲线（其中）上的“半分点”P作直线轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
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2024-02-08更新
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110次组卷
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2卷引用：湖南省岳阳市岳阳楼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
4 . 如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘
中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘
中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘与点
的距离
，观察活动托盘中砝码的质量
的变化情况．实验数据记录如表：
，
的各组对应值作为点的坐标，如
，
……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为
时，活动托盘与点的距离是多少？
中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 30 | 20 | 15 | 12 | 10 |
图① 图②
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；(2)观察所画的图象，猜测
与之间的函数关系，求出函数关系式；(3)当砝码的质量为
时，活动托盘与点的距离是多少？
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2024-02-08更新
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131次组卷
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2卷引用：河南省开封市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
5 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数
（a，b为常数，且
）与反比例函数
（m为常数，且）的图象交于点
、
．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式．
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
(3)直接写出当
时，自变量x的取值范围．
（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、．(1)求反比例函数与一次函数的解析式．
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
(3)直接写出当
时，自变量x的取值范围．
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2024-02-08更新
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130次组卷
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2卷引用： 吉林省四平市铁东区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题
6 . 如图，反比例函数
的图象与一次函数
的图象交于A，B两点．已知
，
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求
的面积；
(3)请结合图象直接写出当
，时自变量x的取值范围．
的图象与一次函数的图象交于A，B两点．已知，．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求
的面积；(3)请结合图象直接写出当
，时自变量x的取值范围．
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7 . 下列各点不在双曲线
上的是（ ）
上的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
8 . 如图，一次函数
的图象与坐标轴交A，B两点，与反比例函数
的图象交于
、D两点．
(1)求m的值以及D点的坐标；
(2)在x轴是否存在一点P，使
，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
的图象与坐标轴交A，B两点，与反比例函数的图象交于、D两点．(1)求m的值以及D点的坐标；
(2)在x轴是否存在一点P，使
，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
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9 . 如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象分别交于点，点，作
轴，垂足为点
，
．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)直接写出当时，的取值范围为______．
的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，作轴，垂足为点，．(1)求反比例函数的表达式及点
的坐标；(2)直接写出当
时，的取值范围为______．
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10 . 如图1，在平面直角坐标系
中，矩形
的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，B点坐标为
，反比例函数
与
交于点D，与
交于点E，
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，连接，
，求证：
；
(3)如图3，点P在x轴上，连接
，以点D为旋转中心将线段逆时针旋转90°得
，若点
恰好落在反比例函数上，求点P的坐标．
中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，B点坐标为，反比例函数与交于点D，与交于点E，．(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，连接
，，求证：；(3)如图3，点P在x轴上，连接
，以点D为旋转中心将线段逆时针旋转90°得，若点恰好落在反比例函数上，求点P的坐标．
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