1 . 综合实践，
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．

   

(1)探究发现
旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用
如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考
如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．

4 . 如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接．

(1)求证：为等腰直角三角形．
(2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点．
①当，求线段的长．
②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示．

6 . 如图1，在中，，，点P是内一个动点，且．

(1)试找出与相等的角，并说明理由．
(2)如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接
①求证；
②求的最小值．
(3)在如图2的条件下，若，求证：