1 . 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（       ）

A．3

B．4

C．5

D．6

2 . 【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：．
①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系．
②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】：
（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：．
【学以致用】：
（3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长至点F，使，连接，若．求的值．

3 . 如图，在平面直角坐标系中．边长为3的等边的边在x轴上，C、D、E分别是上的动点，且满足，连接，当点E坐标为______时，与相似．

4 . 如图，中，，在边上取一点O，以O为圆心，为半径作圆，分别交于点D、E，连接，．

(1)求证：是切线；
(2)若，，求的面积．

6 . 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

(1)在图1中画出的中线；
(2)在图2中的边上找到一点F，使；；
(3)______．

7 . 如图，点M是三边均不等的三条角平分线的交点，过M作，分别交于D、E两点，设，，，关于x的方程（        ）

A．一定有两个相等实数根

B．一定有两个不相等实数根

C．有两个实数根，但无法确定是否相等

D．没有实数根

8 . 如图，在锐角中，以为直径的半圆O分别交，于D，E两点，且，则：的值为______．

9 . 如图，四边形是正方形，点P是上任意一点，于点E，于点F，于点H，的延长线交于点G．

(1)求证：；
(2)四边形是什么四边形？并证明；
(3)若，求四边形的面积．

10 . 如图，点在线段上，，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为腰作等腰，连接，则长的取值范围是______．