1 . 如图，在中，矩形的一边在上，点、分别在边、边上，是边上的高，与相交于点，已知，，，求矩形的面积是______．

2 . 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交于点，交轴于点，交抛物线于点，连接．

   

(1)求此抛物线的解析式；
(2)求线段长度的最大值；
(3)过点作于点，当时，求的长．

3 . 如图1，在中，点D在边上，若满足，则称点P是点D的“和谐点”．

​

(1)如图2，．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，C，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．
①若，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出长的取值范围是           ．

4 . 直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标；
(3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长．

5 . 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的圆恰好经过点D．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．

6 . 如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方．

(1)求与的值．
(2)求线段的最大值．
(3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标．

7 . 如图，在矩形中，，，，P为上一个动点，以P为圆心，长半径作，交、、交于、、（任意两点不重合）．

(1)半径的长度范围为________；
(2)如图1，连接并延长交于，若，求；
(3)连接，将劣弧沿着翻折交于点，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由．

8 . 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线在第二象限内交于点．当点A的坐标为，且时，k的值为______．
   

9 . 如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y．

(1)______；
(2)当点E在CD上时，______；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

10 . 如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，的面积为3，则菱形的面积_____．