名校
1 . 阅读材料：如图（1），在
中，
，点P在
边上，
于点
于点F，则
．（此结论不必证明，可直接应用）
如图（2），正方形
的边长为2，对角线
相交于点O，点P在边上，于点于点F，则
______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点
点P在边上，
交
于点E，
交
于点F，求
的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，
，点P在弦
上，
交BD于点E，
交于点F，当
时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形
面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）
如图（2），正方形
的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；(2)【类比与推理】
如图（3），矩形
的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；(3)【拓展与延伸】
四边形
是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
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2 . 综合运用
如图，在
中，
，过点
作的垂线段
，垂足为
，连接
，且
．的长．
(2)以点为中心，按逆时针方向旋转
一周，使旋转后得到的
的边
恰好经过点（点不与点
重合），求此时旋转角的度数．
(3)在（2）的条件下，将沿向右平移
个单位长度，设平移后的图形与
重叠部分的面积为
，当
时，求与的函数关系式．
如图，在
中，，过点作的垂线段，垂足为，连接，且．
的长．(2)以点
为中心，按逆时针方向旋转一周，使旋转后得到的的边恰好经过点（点不与点重合），求此时旋转角的度数．(3)在（2）的条件下，将
沿向右平移个单位长度，设平移后的图形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式．
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解题方法
3 . 在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为
，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数
作为其中一个函数（标记该函数图象交
轴于原点
及点
）做了有关研究，请你帮他解答．
【特例感知】（1）当
时，如图，抛物线
上的点
关于与之对应的“和合对称抛物线”图像
的“和合点”分别为
，
．如下表：
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象．
【初步探讨】（2）①当
时，若抛物线
的顶点为点
，点对应的“和合点”为点
，则由点
、四点所围成的四边形的面积为______；
②在同一平面直角坐标系中，当
取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式．
【进阶探究】（3）若抛物线
及与它对应的“和合对称抛物线”与直线
有且只有三个交点，求的值．
，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当
时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表：| … |  |  |  |  |  | … |
| … |  |  |  |  |  | … |
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象
．【初步探讨】（2）①当
时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______；②在同一平面直角坐标系中，当
取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式．【进阶探究】（3）若抛物线
及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
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2024-04-19更新
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286次组卷
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2卷引用：江西省赣州市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
名校
4 . 如图1，点
是
的平分线上的一点，点、
分别在的两边
、
上，若
．
、
之间的数量关系________；
(2)如图2，若
，
，求四边形
的面积；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，
的面积是否有最大值？若有请求出面积的最大值，若没有请说明理由．
是的平分线上的一点，点、分别在的两边、上，若．
、之间的数量关系________；(2)如图2，若
，，求四边形的面积；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，的面积是否有最大值？若有请求出面积的最大值，若没有请说明理由．
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2024-04-19更新
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90次组卷
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2卷引用：陕西省西安市铁一中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
5 . 如图，圆柱体的母线长为2，是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为
，沿母线与上底面直径形成的折线段爬行到C处的路径的长为
．当圆柱体底面半径r变化时，为比较与的大小，记
，则d是r的二次函数，下列说法正确的是（ ）
是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为，沿母线与上底面直径形成的折线段爬行到C处的路径的长为．当圆柱体底面半径r变化时，为比较与的大小，记，则d是r的二次函数，下列说法正确的是（ ）
| A．该函数的图象都在r轴上方 | B．该函数的图象的对称轴为 |
C．当 时， | D．当 时， |
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2024-04-17更新
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140次组卷
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2卷引用：2024年山东省潍坊市潍城区数学一模模拟试题
6 . 某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
(1)求抛物线
和抛物线
的解析式；
(2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留
）
(3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差
，求杯中液体的深度．
| 素材 | 内容 |
| 素材1 | 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
|
| 素材2 | 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段， ，抛物线（实线部分），线段 ，线段 绕 轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形
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| 素材3 | 已知，图2坐标系中， ，记为 ， ． |
(1)求抛物线
和抛物线的解析式；(2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留
）(3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差
，求杯中液体的深度．
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2024-04-17更新
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281次组卷
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2卷引用：2024年辽宁省葫芦岛市建昌县中考一模数学模拟试题
7 . 如图，是一块菱形新型平面材料，
，
，点E在上，且
垂直于
，先沿着切开材料，然后在四边形
内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在
边上．设边上矩形的边长为
，矩形的面积为
．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：
；②当
时，切割出矩形后，四边形
剩余的面积为
；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为
元/
，则当
时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为
元．其中，正确结论的个数是（ ）
，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（ ）
| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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2024九年级下·江苏·专题练习
8 . 已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米．
(1)求S关于C的函数关系式；
(2)当
平方厘米，求正方形的边长．
(1)求S关于C的函数关系式；
(2)当
平方厘米，求正方形的边长．
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2024九年级下·江苏·专题练习
9 . 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数自变量的取值范围．
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10 . 如图，是抛物线
在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形
周长的最大值为______ .
是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为
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