1 . 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展〝冬日情暖，喜迎元旦〞活动．小新同学对会场进行装饰，如图1，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示已知墙与等高且之间的水平距离为8m．

(1)如图2，两墙的高度      ；抛物线的顶点坐标为      ．
(2)为了使彩带的造型美观，小新把彩带从点M处用一根细绳吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．

2 . 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．

(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
(3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标：
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．

3 . 如图1，中，，是边上的一个动点（不与点，重合），，交于点，，交于点．设的长为，四边形的面积为，与的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点的坐标为，则的长为（　　）

A．

B．

C．

D．3

7 . 如图，在边长为的正方形各边上取点E，F，G，H（不与A，B，C，D重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．

(1)y关于x的函数表达式是______，自变量x的取值范围是______；
(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象；

(3)当______时，正方形面积有最小值______．

8 . 【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；
（2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，
【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：；
【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______．

9 . 一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积．